2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집 (공학계열)

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2026학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II, 미적분]

2026 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2026학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 다항함수, 삼각함수, 미분법, 적분법]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \((a, b)\)의 모든 \(x\)에 대하여
(1) \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 증가한다. (2) \(f'(x) < 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 감소한다.

나) 삼각함수의 덧셈정리: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\), \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

다) 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서 위치 \((x, y)\)가 \(x = f(t),\ y = g(t)\)일 때, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 \(s\)는 \[ \begin{aligned} &s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt \end{aligned} \]

라) 함수 \(f(x)\)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때, \(f(x)\)는 그 구간에서 연속 또는 그 구간에서 연속함수라고 한다. 특히 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, \(f(x)\)는 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이라 한다.
(i) 열린구간 \((a, b)\)에서 연속이다. (ii) \(\lim_{x \to a+} f(x) = f(a), \quad \lim_{x \to b-} f(x) = f(b)\)

[문제 1-1] 양의 실수에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 5x - 2}{x^2 - 1} & (x \ne 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}\) 이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

(1) \(a\)의 값을 구하시오.

(2) \(f'(1)\)의 값을 구하시오.

(3) 제시문 가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 증가하는 구간을 모두 구하시오.

[문제 1-2] 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서 위치 \((x, y)\)가 \[ \begin{aligned} &x = (1 + \cos 2t)\cos 2t, \quad y = (1 + \cos 2t)\sin 2t \end{aligned} \] 일 때, 제시문 나)와 다)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하시오.

(2) 시각 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(t = \dfrac{3\pi}{2}\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직일 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 속력이 최대가 되는 시각 \(t\)를 구하고 이때의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 구하시오.

(3) 시각 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(t = \dfrac{3\pi}{2}\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하시오.

[문제 1-3] 음이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 \[ \begin{aligned} &I(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin\theta}{1 + a\cos\theta}\,d\theta \end{aligned} \] 일 때, 제시문 가)와 라)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(I(2)\)의 값을 구하시오.

(2) \(x \ge 0\)에서 함수 \(I(x)\)가 연속인지 불연속인지 조사하시오.

(3) \(x \ge 0\)에서 함수 \(I(x)\)의 증가와 감소를 조사하시오.

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2026학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 미적분]

2026 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2026학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 삼각함수, 수열]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} \end{aligned} \]

나) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\overline{\mathrm{AB}}^2 = \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2 - 2\overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{CA}} \times \cos C \\ &\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{CA}}^2 + \overline{\mathrm{AB}}^2 - 2\overline{\mathrm{CA}} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \cos A \\ &\overline{\mathrm{CA}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \cos B \end{aligned} \]

다) 삼각함수의 덧셈정리: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\), \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

라) 세 수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등차중항이라고 한다. 이때 \(b = \dfrac{a+c}{2}\)임을 알 수 있다.

마) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

[문제 2-1] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 각 변의 길이를 \(\overline{\mathrm{BC}} = a, \ \overline{\mathrm{CA}} = b, \ \overline{\mathrm{AB}} = c\)라 하자. \(a, b, c\)는 이 순서대로 공비가 \(r\)인 등비수열을 이룬다. \(\sin(B - A), \ \sin A, \ \sin C\)는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 다음의 (1)~(4)를 \(r\)에 대한 식으로 나타내고, (1)~(4)를 이용하여 (5)의 물음에 답하시오.

(1) \(\cos A\) (2) \(\cos B\) (3) \(\dfrac{\sin B}{\sin A}\) (4) \(\dfrac{\sin C}{\sin A}\) (5) \(r^2\)의 값을 구하시오.

[그림] 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)와 \(\triangle\mathrm{QCB}\)

[문제 2-2] 그림과 같이 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 내부에 점 \(\mathrm{P}\)가 있다. \(\overline{\mathrm{PA}} = 5, \ \overline{\mathrm{PB}} = 8, \ \overline{\mathrm{PC}} = 13\)이다. \(\triangle\mathrm{PAB}\)를 점 \(\mathrm{B}\)를 중심으로 시계 방향으로 \(90^\circ\) 회전시킨 삼각형을 \(\triangle\mathrm{QCB}\)라고 하자.
다음을 구하시오.

(1) \(\overline{\mathrm{PQ}}\)

(2) \(\cos(\angle\mathrm{CPQ})\)

(3) \(\sin(\angle\mathrm{CPQ})\)

(4) \(\cos(\angle\mathrm{BPC})\)

(5) (1)~(4)를 이용하여 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 구하시오.

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2025학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II, 미적분]

2025 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2025학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 방정식과 부등식, 함수, 지수와 로그, 수열의 극한, 미분법, 적분법]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 수렴하는 두 수열 \(\{a_n\}, \ \{b_n\}\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \ \lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)일 때, 수열 \(\{c_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \le c_n \le b_n\)이고 \(\alpha = \beta\)이면 수열 \(\{c_n\}\)은 수렴하고 \(\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha\)이다.

나) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
\(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)

다) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 \[ \begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx \qquad \left(\text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, \ x_k = a + k\Delta x\right) \end{aligned} \]

[문제 1-1] 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 이차함수 \(y = 2x^2 - 5(n+2)x + 3a_n\)의 그래프는 \(x\)축과 만나고, 이차함수 \(y = 2x^2 - 5nx + 3a_n\)의 그래프는 \(x\)축과 만나지 않는다고 할 때, \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2}\)의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 함수 \(f(x) = (x - 5)e^x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((k, f(k))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(2) 함수 \(f(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 \(f(x)\)의 극값을 구하시오.

(3) 점 \((a, 0)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-3] 제시문 다)를 이용하여 함수 \(f(x) = \ln 3x\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\frac{2}{3n+2k}\right) f\left(3 + \frac{2k}{n}\right)\)의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수의 그래프의 개형을 이용하여 두 함수 \(y = \ln x\)와 \(y = \dfrac{1}{2x}\)의 그래프의 교점의 개수를 구하시오.

(2) 양의 실수 \(t\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = (4t^4 + 3t^2 + 1)\ln(x - t), \ g(x) = 3e^{2x - a}\)의 그래프가 오직 한 점 \(\mathrm{A}\)에서 만나고 점 \(\mathrm{A}\)에서 두 그래프에 동시에 접하는 접선이 존재하도록 하는 실수 \(a\)의 값을 \(h(t)\)라 하자. \(h'(2)\)의 값을 구하시오.

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2025학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I]

2025 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2025학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 다항식, 삼각함수]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 항등식의 뜻과 성질을 이용하여 등식에서 미지의 계수와 상수항을 정하는 방법을 미정계수법이라고 한다.

나) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin B} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} \end{aligned} \]

다) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} &\overline{\mathrm{AB}}^2 = \overline{\mathrm{BC}}^2 + \overline{\mathrm{CA}}^2 - 2\overline{\mathrm{BC}} \times \overline{\mathrm{CA}} \times \cos C \\ &\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{CA}}^2 + \overline{\mathrm{AB}}^2 - 2\overline{\mathrm{CA}} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \cos A \\ &\overline{\mathrm{CA}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{BC}} \times \cos B \end{aligned} \]

[문제 2-1] 최고차항의 계수가 \(a(a \ne 0)\)인 삼차식 \(f(x)\)와 세 실수 \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)가 다음을 만족한다. \[ \begin{aligned} &f(x) - 5x + 6 = a(x - 2)(x - 3)(x - \alpha) \\ &f(x) - 6x + 8 = a(x - 2)(x - 4)(x - \beta) \\ &f(x) - 7x + 12 = a(x - 3)(x - 4)(x - \gamma) \end{aligned} \] \(\alpha + \beta + \gamma = 24\)일 때, \(f(0)\)의 값을 구하시오.

[그림] \(\triangle\mathrm{ABC}\)와 내접원 \(O\)

[문제 2-2] 그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 중심이 \(\mathrm{R}\)인 원 \(O\)가 세 점 \(\mathrm{X, W, Z}\)에서 접한다. 선분 \(\mathrm{AX}\)가 원 \(O\)와 만나는 점 중 \(\mathrm{X}\)가 아닌 점을 \(\mathrm{Y}\)라 하고 점 \(\mathrm{Y}\)에서의 접선이 두 선분 \(\mathrm{AB, AC}\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P, Q}\)라 하자. \(\overline{\mathrm{AP}} = 3, \ \overline{\mathrm{PB}} = 3, \ \overline{\mathrm{AC}} = 5\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\angle\mathrm{PYX} = \angle\mathrm{YXB}\)임을 보이시오.

(2) 제시문 나)를 이용하여 \(\overline{\mathrm{ZP}} = 1\)임을 보이시오.

(3) 제시문 다)를 이용하여 \(\overline{\mathrm{WQ}}\)의 값을 구하시오.

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2024학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2024 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2024학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 나머지정리, 로그, 이차방정식, 등차·등비수열]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 다항식 \(f(x)\)에 대하여 \(f(\alpha) = 0\)이면 \(f(x)\)는 일차식 \(x - \alpha\)로 나누어떨어진다. 거꾸로 \(f(x)\)가 \(x - \alpha\)로 나누어떨어지면 \(f(\alpha) = 0\)이다.

나) \(a > 0, \ a \ne 1\)이고 \(M > 0, \ N > 0\)일 때,
(1) \(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\) (2) \(\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)

다) 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)\)의 근은 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)의 부호에 따라 다음과 같이 정해진다.
(1) \(D > 0\)이면 서로 다른 두 실근을 갖는다. (2) \(D = 0\)이면 한 개의 실근(중근)을 갖는다. (3) \(D < 0\)이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

라) 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \ (a \ne 0)\)의 두 근을 \(\alpha, \ \beta\)라 하면 \(\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)

마) 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항 \(a_n\)은 \(a_n = a + (n - 1)d \ (n = 1, 2, 3, \cdots)\)이고, 첫째항이 \(b\), 공비가 \(r \ (r \ne 0)\)인 등비수열의 일반항 \(b_n\)은 \(b_n = br^{n-1} \ (n = 1, 2, 3, \cdots)\)이다.

[문제 1-1] 사차함수 \(y = f(x)\)에 대하여 두 방정식 \(f(x) = 0\)과 \(f'(x) = 0\)은 모두 \(20\)과 \(23\)을 근으로 갖는다. \(f(21) = 21\)일 때, \(f(24)\)의 값을 구하시오.

[문제 1-2] \(1\)보다 큰 자연수 \(k\)에 대하여 방정식 \(4^x - 2^{x+1} + 1 - \dfrac{1}{k^2} = 0\)의 두 실근을 \(\alpha_k, \ \beta_k\)라 하자. \(N = \displaystyle\sum_{k=2}^{2024} (\alpha_k + \beta_k)\)일 때, \(2^N\)의 값을 구하시오.

[문제 1-3] 이차함수 \(y = kx^2 - 2x + k - 3\)의 그래프의 꼭짓점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 \((x_k, y_k)\)라 하자. \(0 \lt x_k \lt 1, \ 0 \lt y_k \lt 1\)일 때, 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문제 1-4] \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + 2(\sin\theta + 1)x + \sin^2\theta = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \ \beta \ (\alpha \le \beta)\)라 하자. \(\beta - \alpha \le 2\sqrt{2}\)일 때, \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오. (단, \(0 \le \theta \le 2\pi\))

[문제 1-5] \(0\)이 아닌 네 개의 실수 \(a, b, c, d\)가 다음의 조건을 만족한다.
(가) \(a, b, c\)가 이 순서대로 등비수열을 이룬다. (나) \(b, c, d\)가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.
\(\dfrac{d}{a}\)의 최솟값을 구하시오.

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2024학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학I, 수학II, 미적분]

2024 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2024학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 로그함수, 삼각함수, 미적분학]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 작성하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \((x, y)\)가 \(x = f(t), \ y = g(t)\)일 때, \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 \(s\)는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} &s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt \end{aligned} \]

나) 두 함수 \(y = f(x), \ y = g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y = f(x), \ y = g(x)\) 및 두 직선 \(x = a, \ x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\(S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)

다) 탄젠트함수의 덧셈정리는 다음과 같다.
\(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\)

라) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
\(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)

[문제 2-1] 좌표평면 위에서 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \((x, y)\)가 \(x(t) = t^2\sin t, \ y(t) = t^2\cos t\)이다. \(t = 0\)에서 \(t = a\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리가 \(\dfrac{19}{3}\)일 때, \(a\)의 값을 구하시오. (단, \(a > 0\))

[문제 2-2] 구간 \([0, \pi]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = \cos x\)와 \(g(x) = ax\sin x\)가 있다. 두 곡선 \(y = f(x), \ y = g(x)\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 두 곡선 \(y = f(x), \ y = g(x)\) 및 직선 \(x = \pi\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_2 - S_1\)의 값을 구하시오. (단, \(a > 0\))

[문제 2-3] 두 함수 \(f(x) = e^x, \ g(x) = e^{ax-1}\)의 그래프가 점 \(\mathrm{P}\)에서 만날 때, 점 \(\mathrm{P}\)에서 곡선 \(y = f(x)\)의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{A}\), 점 \(\mathrm{P}\)에서 곡선 \(y = g(x)\)의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{B}\)라 하자. \(\tan(\angle\mathrm{APB})\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내시오. (단, \(a > 1\))

[문제 2-4] 구간 \((\sqrt{2}, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = x + \dfrac{2}{x}\)와 구간 \((1, \infty)\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \ln x\)가 있다. 곡선 \(y = f(x)\) 위에서 움직이는 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 직선 \(l\)과 평행하고 곡선 \(y = g(x)\)에 접하는 직선을 \(m\), 직선 \(m\)이 곡선 \(y = g(x)\)에 접하는 점을 \(\mathrm{Q}(s, g(s))\)라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(s\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

(2) 접선 \(l\)이 \(y\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{L}\), 접선 \(m\)이 \(y\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, \(\overline{\mathrm{LM}}\)의 최댓값을 구하시오.

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2023학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학 I, 수학 II, 미적분]

2023 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2023학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 로그함수, 삼각함수, 미적분학]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
\(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)

나) 두 함수 \(f(x), \ g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y = f(x), \ y = g(x)\)와 두 직선 \(x = a, \ x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\(S = \displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)

다) 다음은 탄젠트함수의 덧셈정리이다.
\(\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\)

[문제 1-1] 자연수 \(n\)에 대하여 점 \((0, -n)\)에서 곡선 \(y = \ln x\)에 그은 접선의 \(x\)절편을 \(x_n\)이라 하자. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}}\)의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 직선 \(y = kx\)가 점 \((a, \ln a)\)에서 곡선 \(y = \ln x\)에 접할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(k\)는 상수)

(1) \(a\)와 \(k\)의 값을 각각 구하시오.

(2) 곡선 \(y = \ln x\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = a\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\)이라 하고, 곡선 \(y = \ln x\)와 직선 \(y = kx\) 및 직선 \(x = a^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1, \ S_2\)를 각각 구하시오.

[문제 1-3] 곡선 \(y = \ln x\) 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm{P}_1, \ \mathrm{P}_2\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1, \ x_2 \ (x_1 < x_2)\)라 하고, 곡선 \(y = \ln x\) 위의 점 \(\mathrm{P}_1\)에서의 접선과 곡선 \(y = \ln x\) 위의 점 \(\mathrm{P}_2\)에서의 접선이 만나는 점을 \(\mathrm{R}\)이라 하자. \(\tan(\angle\mathrm{P_1RP_2})\)를 \(x_1, \ x_2\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 1-4] 함수 \(f(x) = \ln\left(\dfrac{1}{1 - x}\right)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, 0)\)에서의 접선이 직선 \(x = 1\)과 만나는 점을 \(\mathrm{P}_1\)이라 하고, 점 \(\mathrm{P}_1\)을 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}_1\)이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{Q}_1\)에서의 접선이 직선 \(x = 1\)과 만나는 점을 \(\mathrm{P}_2\)라 하고, 점 \(\mathrm{P}_2\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(3\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{Q}_{n-1}\)에서의 접선이 직선 \(x = 1\)과 만나는 점을 \(\mathrm{P}_n\)이라 하고, 점 \(\mathrm{P}_n\)을 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}_n\)이라 하자. 선분 \(\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k\)의 길이를 \(l_k \ (k = 1, 2, 3, \cdots)\)라 할 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} l_k\)의 값을 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2023학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II, 미적분]

2023 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2023학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 삼각함수, 극대, 극소, 점과 직선의 거리]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 두 실수 \(x, \ y\)가 \(x^2 + y^2 = 1\)을 만족할 때, \(x = \cos\theta, \ y = \sin\theta\)와 같이 매개변수 \(\theta\)로 나타낼 수 있다.

나) 다음은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리이다.
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

다) 함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f'(a) = 0\)일 때, \(x = a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이고, \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이다.

[문제 2-1] 두 실수 \(x, \ y\)가 \(x^2 + y^2 = 1\)을 만족할 때, \(xy - 2xy^3\)의 최댓값을 구하시오.

[문제 2-2] 두 자연수 \(a, \ b\)와 두 실수 \(\alpha, \ \beta\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\alpha + \beta = a, \ \alpha\beta = -32\)

(나) 좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{A}(\alpha, 0), \ \mathrm{B}(0, \beta), \ \mathrm{C}(b, b)\)로 이루어진 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 \(19\)이다.

\(a + b\)의 최솟값을 구하시오.

[문제 2-3] 함수 \(f(x) = (3x^2 - 4)(x - t)\)의 극댓값과 극솟값의 차를 \(g(t)\)라 하자. \(g(t)\)의 최솟값을 구하시오. (단, \(t\)는 실수)

[문제 2-4] 함수 \(f(x) = x + \ln(1 - x) \ (0 \lt x \lt 1)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 점 \((t, f(t))\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선을 \(m\)이라 하자. 두 직선 \(l, \ m\)의 \(y\)절편을 각각 \(g(t), \ h(t)\)라 할 때, \(g(t) - h(t)\)의 최솟값을 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2022학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학I, 수학II]

2022 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2022학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 함수와 그래프, 수열, 삼각함수, 함수의 극한과 연속]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 유리함수 \(y = \dfrac{k}{x - p} + q \ (k \neq 0)\)의 그래프는 \(y = \dfrac{k}{x}\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 것이다. 이때 이 함수의 정의역은 \(\{x \mid x \neq p\text{인 실수}\}\)이고, 치역은 \(\{y \mid y \neq q\text{인 실수}\}\)이다. 또 이 그래프의 점근선은 두 직선 \(x = p\)와 \(y = q\)이다.

나) 자연수를 차례로 나열한 수열 \(1, 2, 3, \cdots, n, \cdots\)은 첫째항이 \(1\)이고 공차가 \(1\)인 등차수열이므로 \(1\)부터 \(n\)까지의 자연수의 합은 다음과 같다.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\)

다) 극한 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \ \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\)이고 \(f(x), \ g(x)\)가 다항식일 때에는 주어진 식 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)의 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나눈 후에 극한값을 구할 수 있다.

[문제 1-1] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f_n(x)\)를 \(f_n(x) = \dfrac{x + 3n^2 + n}{x - 2n} \ (x > 2n)\)이라 하자. 곡선 \(y = f_n(x)\) 위의 한 점 \(\mathrm{A}_n\)은 \(x\)축까지의 거리와 \(y\)축까지의 거리가 같은 점이다. 그 거리를 \(d_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{5} d_n\)의 값을 구하시오.

[문제 1-2] 두 함수 \(f(x) = \dfrac{30}{2x - 15}, \ g(x) = x - \dfrac{15}{2}\)에 대하여 \(h(x) = f(x) + g(x)\)라 하자. 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = h(n)\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{15} a_n\)의 값을 구하시오.

[문제 1-3] 함수 \(f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 1}\)의 그래프 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-1, 2), \ \mathrm{B}\left(a, \dfrac{3a - 1}{a - 1}\right) \ (a > 1)\)을 지나는 직선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P}, \ \mathrm{Q}\)라 하자. 점 \(\mathrm{A}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{A}'\), 점 \(\mathrm{B}\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{B}'\)이라 할 때, 두 삼각형 \(\mathrm{APA}', \ \mathrm{BB}'\mathrm{Q}\)의 넓이를 각각 \(S_1, \ S_2\)라 하자. \(\displaystyle\lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}\)의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 함수 \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}(1, 2)\)를 지나는 두 직선 \(l, \ m\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 각각 두 점에서 만난다. 직선 \(l\)과 곡선 \(y = f(x)\)의 두 교점은 \(\mathrm{A}\left(\dfrac{1}{2}, 0\right), \ \mathrm{B}\)이다. 직선 \(m\)과 곡선 \(y = f(x)\)의 두 교점 중 \(x\)좌표가 \(1\)보다 큰 점을 \(\mathrm{C}\), 직선 \(m\)과 \(x\)축의 교점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 두 삼각형 \(\mathrm{BPC}, \ \mathrm{APD}\)의 넓이를 각각 \(S_1, \ S_2\)라 할 때, \(2S_1 = S_2\)를 만족시키는 직선 \(m\)의 방정식을 구하시오.

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2022학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학II, 미적분]

2022 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2022학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 미분, 함수의 그래프, 정적분, 치환적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 함수 \(y = f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, \ x = b\)로 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 \(S = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx\)이다.

나) 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(a) = 0\)이고 \(x = a\)의 좌우에서
(1) \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이다.
(2) \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이다.

다) 함수 \(f(x)\)가 임의의 세 실수 \(a, \ b, \ c \ (a \lt b \lt c)\)를 포함하는 구간에서 연속일 때 다음의 등식이 성립한다.
\(\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\)

라) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 미분가능한 함수 \(x = g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 \(a = g(\alpha), \ b = g(\beta)\)일 때, \(\alpha, \ \beta\)를 포함하는 구간에서 연속이면 다음의 등식이 성립한다.
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt\)

[문제 2-1] \(y = f(x)\)와 \(y = \beta\)

[문제 2-1] 그림과 같이 함수 \(f(x) = x\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(x - \sqrt{3})\)의 그래프와 직선 \(y = \beta \ (\beta > 0)\)가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 세 교점의 \(x\)좌표를 각각 \(k_1, \ \alpha, \ k_2 \ (k_1 < \alpha < k_2)\)라 하자.
직선 \(y = \beta\)와 \(y\)축 및 곡선 \(y = f(x) \ (0 \le x \le k_1)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_1\), 직선 \(y = \beta\)와 곡선 \(y = f(x) \ (k_1 \le x \le \alpha)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\)라 하자. 이때 \(S_1 = S_2\)를 만족시키는 \(\alpha, \ \beta\)의 값을 각각 구하시오.

[문제 2-2] 구간 \((0, 1]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \ln(xt)\,dt\)의 최솟값을 구하시오.

[문제 2-3] 서로 다른 세 실수 \(a, \ b, \ c \ (a \lt b \lt c)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 6x - abc\)라 하자. 방정식 \(f(x) = 0\)의 세 실근이 \(a, \ b, \ c\)일 때, 제시문 나)를 이용하여 \(a > 0, \ c < 3\)임을 각각 보이시오.

[문제 2-4] 제시문 다)와 제시문 라)를 이용하여 \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x^{2022})}{1 + 2022^x}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x^{2022})\,dx\)임을 보이시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2021학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학 I, 확률과 통계]

2021 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2021학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 수열, 경우의 수, 확률]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) \(n\)개 중에서 같은 것이 각각 \(p\)개, \(q\)개씩 있을 때, 이들 \(n\)개를 일렬로 배열하는 순열의 수는 \(\dfrac{n!}{p! \times q!}\)이다. (단, \(p + q = n\))

<그림 1-1>

나) 반지름의 길이가 \(1\)이고, 둘레를 \(4\)등분하는 \(4\)개의 점이 있는 원을 \(K\)라 하자. <그림 1-1>과 같이 \(6\)개의 원 \(K\)로 이루어진 도형에서 동전을 던져서 앞면이 나오면 오른쪽 위, 뒷면이 나오면 오른쪽 아래로 각각 원의 둘레의 \(\dfrac{1}{4}\)만큼 가장 가까운 점으로 이동한다. (단, 오른쪽 위로 이동할 수 없는 경우에는 오른쪽 아래로 이동하고, 오른쪽 아래로 이동할 수 없는 경우에는 오른쪽 위로 이동한다.)
예시> <그림 1-1>에서 ‘앞면 \(\to\) 앞면 \(\to\) 뒷면 \(\to\) 앞면’이 나오면 점 \(\mathrm{A}\)에 도착하고, ‘뒷면 \(\to\) 앞면 \(\to\) 뒷면 \(\to\) 뒷면’이 나오면 점 \(\mathrm{B}\)에 도착한다.

다) 동전을 던질 때, 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 \(\dfrac{1}{2}\)이다.

<그림 1-2>

※ <그림 1-2>와 같이 \(19\)개의 원 \(K\)로 이루어진 도형에 대하여 [문제 1-1]∼[문제 1-4]의 물음에 답하시오.

[문제 1-1] 점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하고 동전을 \(3\)번 던질 때, 점 \(\mathrm{A}\)에 도착할 확률을 구하시오.

[문제 1-2] 점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하고 동전을 \(5\)번 던질 때, \(\dfrac{5}{32}\)의 확률로 도착하는 두 점을 각각 \(\mathrm{B}, \ \mathrm{C}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{O}_2\mathrm{BC}\)의 넓이를 구하시오.

[문제 1-3] 점 \(\mathrm{O}_1\)에서 출발하고 동전을 \(4\)번 던질 때, 두 점 \(\mathrm{D}, \ \mathrm{E}\)에 도착하는 사건을 각각 \(D, \ E\)라 하자. \(\dfrac{\mathrm{P}(D)}{\mathrm{P}(E)}\)의 값을 구하시오.

[문제 1-4] 동전을 첫 번째 던져서 출발점을 정한 후 두 번째 던질 때부터 이동한다. 동전을 첫 번째 던져서 앞면이 나오면 점 \(\mathrm{O}_2\)에서 출발하고, 뒷면이 나오면 점 \(\mathrm{O}_3\)에서 출발한다. 출발점을 정한 후 동전을 \(6\)번 더 던져서 점 \(\mathrm{F}\)에 도착했을 때, 점 \(\mathrm{O}_3\)에서 출발했을 확률을 구하시오.

<그림 1-3>

[문제 1-5] <그림 1-3>과 같이 가로로 \(9\)개의 원 \(K\)로 이루어진 도형이 세로로 충분히 있다. 점 \(\mathrm{O}_4\)에서 출발해서 동전을 \(2n\)번 던질 때 점 \(\mathrm{G}_n\)에 도착하는 사건을 \(G_n\)이라 하자. \(\dfrac{\mathrm{P}(G_7)}{\mathrm{P}(G_8)}\)의 값을 구하시오.

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2021학년도 논술우수자전형 | 공학계열(수학) [수학, 수학 I, 수학 II, 미적분]

2021 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2021학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 사인법칙, 연립방정식, 접선의 방정식, 정적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

가) 그림과 같이 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 각 \(\angle\mathrm{A}, \ \angle\mathrm{B}, \ \angle\mathrm{C}\)의 크기가 각각 \(A, \ B, \ C\)이고, 이들의 대변의 길이가 각각 \(a, \ b, \ c\)이며, 외접원의 반지름을 \(R\)라 하면 다음 관계식이 성립한다.
• 사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\) • 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\): \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)

나) 두 각 \(\alpha, \ \beta\)에 대한 삼각함수를 이용하면 \(15^\circ, \ 75^\circ, \ 105^\circ\)에 대한 사인함수 값과 코사인함수 값을 구할 수 있다.
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

<그림 2-1>

[문제 2-1] <그림 2-1>과 같이 좌표평면의 점 \(\mathrm{P}(\sqrt{6}, 0)\)을 지나고 기울기가 \(\sqrt{3}\)인 직선 \(\mathrm{PQ}\) 위에 점 \(\mathrm{B}\)가 있다. 선분 \(\mathrm{OP}\) 위의 점 \(\mathrm{A}\), 선분 \(\mathrm{PQ}\) 위의 점 \(\mathrm{B}\)에 대하여 점 \(\mathrm{A}\)를 지나고 \(x\)축에 수직인 직선과 점 \(\mathrm{B}\)를 지나고 직선 \(\mathrm{PQ}\)에 수직인 직선의 교점을 \(\mathrm{C}\)라 하자. \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{6}\)이고, \(\angle\mathrm{BAP} = \theta\)일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이고, 점 \(\mathrm{Q}\)는 제\(1\)사분면에 있다.)

(1) \(\theta = 45^\circ\)일 때, 두 선분 \(\mathrm{AC}, \ \mathrm{BC}\)의 길이를 각각 구하시오.

(2) \(\theta = 45^\circ\)일 때, 삼각형 \(\mathrm{APB}\)의 넓이를 구하시오.

(3) \(0 \le \theta \le 60^\circ\)인 모든 \(\theta\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이가 일정함을 보이시오.

<그림 2-2>

[문제 2-2] 좌표평면의 점 \(\mathrm{P}(10, 0)\)을 지나고 기울기가 \(1\)인 직선 \(\mathrm{PQ}\) 위의 점 \(\mathrm{B}\)가 있다. 세 점 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}, \ \mathrm{C}\)와 각 \(\theta \ (0^\circ \le \theta \le 45^\circ)\)를 [문제 2-1]과 같은 방법으로 정의한다. <그림 2-2>에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{OP}} = 10\)이며, 각 \(\theta\)의 크기가 각각 \(0^\circ, \ 30^\circ, \ 45^\circ\)일 때의 점 \(\mathrm{C}\)를 각각 점 \(\mathrm{C}_1\), 점 \(\mathrm{C}_2\), 점 \(\mathrm{C}_3\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이고, 점 \(\mathrm{Q}\)는 제\(1\)사분면에 있다.)

(1) 세 점 \(\mathrm{C}_1, \ \mathrm{C}_2, \ \mathrm{C}_3\)의 좌표를 각각 구하시오.

(2) 점 \(\mathrm{C}_1\)과 두 점 \(\mathrm{X}(6, 14), \ \mathrm{Y}(10, 14)\)를 모두 지나는 곡선 \(y = ax^2 + bx + c\)에 대하여 \(a + b + c\)의 값을 구하시오. (단, \(a, \ b, \ c\)는 상수이다.)

(3) 위 (2)번에서 구한 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{C}_1\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(4) 위 (2)번에서 구한 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 0, \ x = 10\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2020학년도 논술우수자전형 | 공학계열(항우기, 항전정, 재료) [수학 I·II, 미적분 I·II, 기하와 벡터]

2020 공학계열 1번 배점 50점 (45분/90분)

【2020학년도 문제 1】 (50점) [출제개념 : 직선운동, 평면운동, 속도·가속도 벡터, 삼각함수의 미분, 정적분]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

좌표, 속도 및 가속도와 관련된 평면벡터 및 공간벡터의 개념들은 움직이는 물체 또는 입자의 운동 해석이 요구되는 다양한 공학적 문제들을 해결하기 위하여 광범위하게 활용되고 있다.

가) 좌표 평면 위에서 직선을 따라 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도 \(a(t)\)가 시간 \(t\)의 함수로 주어질 때, 시각 \(t\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 속도는 가속도를 적분하여 구할 수 있다. 즉, \(v(t) = \displaystyle\int_0^t a(t)\,dt + v(0)\) (식 1-1)
또한 시각 \(t\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 위치는 속도를 적분하여 구할 수 있다. 즉, \(x(t) = \displaystyle\int_0^t v(t)\,dt + x(0)\) (식 1-2)
위에서 \(v(0)\) 및 \(x(0)\)는 각각 \(t = 0\)일 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 및 위치이다.

나) 좌표 평면 위에서 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표가 \((x, y) = (f(t), g(t))\)와 같이 시간 \(t\)의 함수로 주어질 때, 시각 \(t\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 벡터는 각 좌표 성분들을 시간에 대하여 미분하여 구할 수 있고, 가속도 벡터는 속도 벡터 성분들을 시간에 대하여 미분하여 구할 수 있다. 즉,
\(\vec{v} = (v_x, v_y) = \left(\dfrac{df(t)}{dt}, \ \dfrac{dg(t)}{dt}\right)\) (식 1-3), \(\vec{a} = (a_x, a_y) = \left(\dfrac{dv_x}{dt}, \ \dfrac{dv_y}{dt}\right) = \left(\dfrac{d^2 f(t)}{dt^2}, \ \dfrac{d^2 g(t)}{dt^2}\right)\) (식 1-4)

다) 미분 가능한 두 함수 \(y = f(x), \ x = g(t)\)가 주어질 때, 함수 \(y = f(x) = f(g(t))\)의 도함수는 합성함수의 미분법을 이용하여 \(\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\)와 같이 구할 수 있다.

※ [문제 1-1]~[문제 1-3]에서 위치의 단위는 \(\mathrm{m}\), 속도 또는 속력의 단위는 \(\mathrm{m/sec}\), 가속도의 단위는 \(\mathrm{m/sec^2}\)이며, 답안을 작성할 때 단위는 생략해도 된다.

<그림 1-1>

[문제 1-1] <그림 1-1>에서 두 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)가 \(x\)축과 평행한 직선을 따라 움직인다. 시각 \(t = 0\)일 때, 자동차 \(\mathrm{A}\)의 위치는 자동차 \(\mathrm{B}\)보다 \(10\)만큼 앞서 있다. 또한 시각 \(t = 0\)일 때, 자동차 \(\mathrm{B}\)는 정지해 있는 반면, 자동차 \(\mathrm{A}\)는 \(-1\)의 속도로 움직이고 있다. 시각 \(t = 0\) 이후에 두 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)는 각각 \(a_{\mathrm{A}} = 10\), \(a_{\mathrm{B}} = 6t - 10\)과 같이 서로 다른 가속도를 가지고 직선 운동을 한다. 자동차 \(\mathrm{A}, \ \mathrm{B}\)가 \(x\)축 방향으로 같은 위치에 놓이는 시각을 구하여라.

<그림 1-2>

[문제 1-2] <그림 1-2>에서 점 \(\mathrm{P}\)가 \(y = x^2 - 6x + 9\)의 포물선을 따라서 움직이고 있다. 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표 성분 \((x, y)\)는 각각 시간 \(t\)의 함수이다. 점 \(\mathrm{P}\)의 위치가 \(x = 3.5\)일 때, 점 \(\mathrm{P}\)의 속도와 가속도의 크기는 각각 \(1\)이다.
1) \(x = 3.5\) 위치에서 점 \(\mathrm{P}\)의 속도 벡터 성분들을 구하고, 속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\alpha\)를 구하여라. (단, \(0^\circ \le \alpha < 360^\circ\))
2) \(x = 3.5\) 위치에서 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도 벡터 성분들을 구하고, 가속도 벡터가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도 \(\beta\)를 구하여라. (단, \(0^\circ \le \beta < 360^\circ\))

<그림 1-3>

[문제 1-3] <그림 1-3>에서 점 \(\mathrm{Q}\)는 \(\mathrm{A}\) 지점에서 초기 속력 \(v_0\)와 \(x\)축의 양의 방향에 대한 각도 \(\theta\)로 발사되어 비행 중인 로켓을 나타낸다. 점 \(\mathrm{Q}\)는 평면 좌표 위에서 포물선 운동을 시작하여 \(\mathrm{B}\) 지점에 도달한다. 시각 \(t\)에서 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표는 \((x(t), y(t)) = ((v_0\cos\theta)t, \ (v_0\sin\theta)t - 5t^2)\)으로 주어진다.
1) 점 \(\mathrm{Q}\)의 초기 속력이 \(v_0 = 100\), 발사 각도가 \(\theta = 45^\circ\)일 때, \(\mathrm{A}\) 지점에서 \(\mathrm{B}\) 지점까지의 직선 거리 \(L\)을 구하여라.
2) 점 \(\mathrm{Q}\)의 초기 속력이 \(v_0 = 100\), 발사 각도가 \(\theta = 45^\circ\)일 때, 속도 벡터 \(\vec{v}\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각도가 \(30^\circ\)가 되는 시각에서 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(y\) 좌표를 구하여라.
3) 점 \(\mathrm{Q}\)가 그리는 포물선과 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 초기 속력 \(v_0\), 발사 각도 \(\theta\)의 함수로 나타내고, \(v_0 = 100, \ \theta = 45^\circ\)일 때의 넓이를 구하여라.
4) 점 \(\mathrm{Q}\)의 초기 속력이 \(v_0 = 100\)일 때, 점 \(\mathrm{Q}\)가 그리는 포물선과 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 최대가 되는 발사 각도 \(\theta\)를 구하여라. (단, \(0^\circ < \theta < 90^\circ\))

2027학년도 대비 한국항공대학교 수리논술 문제집

2020학년도 논술우수자전형 | 공학계열(항우기, 항전정, 재료) [수학 I, 미적분 I·II]

2020 공학계열 2번 배점 50점 (45분/90분)

【2020학년도 문제 2】 (50점) [출제개념 : 주기함수, 다항함수·삼각함수의 정적분, 이차·삼각함수의 최대·최소, 직선의 방정식]

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)

<그림 2-1>

<그림 2-2>

<그림 2-3>

<그림 2-4>

가) 행성의 운동, 물체의 회전, 사물의 진동은 주기적인 형태로 나타나고, 교류 전압과 전류, 전자기파의 경우 주기적인 신호로 표현된다. 이런 자연 현상을 이해하고 공학적인 설계에 활용하기 위해 주기함수에 대한 이해가 매우 중요하다. 주기 \(T \ (T > 0)\)에 대해 주기함수 \(f(x)\)는 다음 (식 2-1)을 만족한다.
  \(f(x + T) = f(x)\) (식 2-1)
(식 2-1)과 같이 \(-\dfrac{T}{2} \le x < \dfrac{T}{2}\) 구간에서 함수 \(f(x)\)의 형태를 정의하면, \(x\)축 상에서 주기 \(T\)의 정수배만큼 평행 이동한 함수 형태가 반복해서 나타난다.
<그림 2-1> ~ <그림 2-4>는 주기함수의 예를 보여준다. \(g_1(x)\)는 <그림 2-1>과 같이 \(T = 2\)인 주기함수이고, \(-1 \le x \le 1\)의 범위에서 세 점 \((-1, a + b), \ (0, b), \ (1, a + b)\)를 직선으로 연결한 형태로 정의한다. \(g_2(x)\)는 <그림 2-2>와 같이 \(T = 2\)인 주기함수이고, \(-1 \le x \le 1\)의 범위에서 다음 (식 2-2)로 정의한다.
  \(g_2(x) = x^2, \quad -1 \le x \le 1\) (식 2-2)
\(h_1(x)\)는 <그림 2-3>과 같이 \(T = 4\)인 사인함수이고, 다음 (식 2-3)으로 정의된다.
  \(h_1(x) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\) (식 2-3)
\(h_2(x)\)는 <그림 2-4>와 같이 \(T = 4\)인 주기함수이고, \(-2 \le x \le 2\) 범위에서 세 점 \((-2, 0), \ (1, 1), \ (2, 0)\)을 직선으로 연결한 형태로 정의한다.

나) 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(-x) = f(x)\)를 만족하면 상수 \(d\)에 대해 다음 식이 성립한다. \(\displaystyle\int_{-d}^{d} f(x)\,dx = 2\int_0^d f(x)\,dx\) (식 2-4)

[문제 2-1] 제시문의 <그림 2-1>에 정의된 \(g_1(x)\)와 <그림 2-2>에 정의된 \(g_2(x)\)를 이용하여 다음 물음에 답하여라.
1) (식 2-4)를 이용하여 \(a\)와 \(b\)에 대한 식으로 다음 \(P_1\)을 구하여라. \(P_1 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} \{g_1(x)\}^2\,dx\)
2) 위의 1)에서 \(P_1 = \dfrac{1}{3}b^2\)일 때, (식 2-4)를 이용하여 \(P_2\)가 최소가 되는 \(a\)와 \(b\)의 값과 \(P_2\)의 최솟값을 구하여라. \(P_2 = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1} \{g_1(x) - g_2(x)\}^2\,dx\)

[문제 2-2] 상수 \(c\)가 \(-2 < c < 2\)일 때, 제시문의 <그림 2-3>에서 정의한 \(h_1(x)\)와 <그림 2-4>에서 정의한 \(h_2(x)\)를 이용하여 다음 물음에 답하여라.
1) 다음 정적분 \(R\)을 구하여 \(c\)에 대한 식으로 나타내어라. \(R = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-2}^{2} h_1(x - c)h_2(x)\,dx\)
2) \(R\)이 최대가 되는 \(c\)의 값과 \(R\)의 최댓값을 구하여라.

<그림 2-5>

[문제 2-3] <그림 2-5>에서 \(x\)축 위의 두 점 \(\mathrm{A}(-1, 0), \ \mathrm{B}(1, 0)\)과 직선 \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\) 위의 한 점 \(\mathrm{C}(x, y)\)에 대해 \(\overline{\mathrm{AC}}\)와 \(\overline{\mathrm{BC}}\) 길이의 합을 \(s\)로 정의한다. \(s = \overline{\mathrm{AC}} + \overline{\mathrm{BC}}\)가 최소가 되는 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표와 \(s\)의 최솟값을 구하여라.